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La matematica può anche essere l’alfabeto attraverso cui Dio ha scritto l’Universo, ma ciò non significa che sia perfetta.
«Non tutti gli enunciati possono essere provati o confutati, nemmeno dai matematici», afferma David Perez-Garcia, matematico presso l’Università Complutense di Madrid e coordinatore del progetto GAPS, finanziato dal Consiglio europeo della ricerca. «Di fatto, in qualsiasi sistema matematico in cui è possibile svolgere dell’aritmetica basilare, ci saranno sempre enunciati impossibili da provare o confutare.»
Perez-Garcia elabora il concetto facendo riferimento al gap spettrale.
Il gap spettrale viene descritto dai fisici come la quantità di energia necessaria a un sistema quantico per passare da uno stato di bassa energia a uno stato eccitato. Secondo Perez-Garcia, tale gap potrebbe contribuire ad affrontare una delle più grandi sfide della fisica quantistica: la classificazione di tutte le possibili fasi della materia.
«Conosciamo le tre classiche fasi della materia, ossia solida, liquida e gassosa», spiega Perez-Garcia. «Tuttavia, a bassissime temperature, dove la meccanica quantistica è la legge che disciplina la fisica di un sistema, sono presenti fasi della materia molto più numerose ed esotiche.»
Tra gli esempi di queste fasi quantistiche della materia figurano i superconduttori, i superfluidi, i liquidi di spin topologici e i frattoni, per citarne solo alcune. «Nonostante quasi un secolo di meccanica quantistica, siamo ancora ben lungi dall’aver capito, o addirittura scoperto, le molteplici e controintuitive fasi della materia possibili all’interno del regime quantistico», aggiunge Perez-Garcia.
La mission impossible della matematica
Dato che il gap spettrale è ciò che protegge le proprietà quantistiche di un sistema, le transizioni di fase quantistiche possono verificarsi solo quando quest’ultimo è colmato. «Determinare se un materiale ha un gap spettrale o meno è fondamentale per definire i confini e le transizioni tra le diverse fasi della materia», osserva Perez-Garcia.
Il progetto GAPS, finanziato dall’UE, ha dimostrato che il gap spettrale non può essere determinato nemmeno con la matematica più sofisticata. «Alcuni quesiti matematici sono indecidibili, il che significa che non sono né veri né falsi, ma si trovano semplicemente oltre la portata della matematica», afferma il ricercatore.
Come illustra Perez-Garcia, il progetto GAPS ha dimostrato che, anche qualora si sia a conoscenza di tutte le proprietà microscopiche di un materiale, le loro proprietà macroscopiche (quelle che osserviamo con i nostri occhi e che determinano la fase del sistema) non possono, in alcuni casi, essere previste.
«Non è un problema di mancanza di strumenti precisi o di computer abbastanza potenti», osserva. «È un problema relativo all’esistenza di proprietà fisiche che semplicemente non possiamo calcolare.»
In altre parole, il problema di determinare le fasi della materia di qualsiasi dato materiale quantistico possibile è irrisolvibile.
C’è sempre un rovescio della medaglia
Ma non tutto è perduto. Secondo Perez-Garcia, questo risultato negativo ha una controparte positiva: ha dimostrato l’esistenza di una fase completamente nuova della materia.
«Le proprietà di questi nuovi materiali previsti dipendono fortemente dalle dimensioni del campione, il che significa che tali proprietà cambiano drasticamente a una data dimensione critica, una dimensione che può essere regolata su qualsiasi valore desiderato», spiega Perez-Garcia. «Attualmente, stiamo lavorando a una proposta, di cui siamo molto entusiasti, per sintetizzare questo tipo di materiale in un ambiente di laboratorio.»
Inoltre, sebbene sia impossibile determinare la fase per ogni sistema quantistico, rimane comunque plausibile descrivere tutte le possibili fasi della materia quantistica. Secondo Perez-Garcia, le reti di tensori potrebbero essere lo strumento giusto a tal fine. «Essendo rappresentazioni matematiche di uno stato quantico, le reti di tensori sono abbastanza flessibili da rappresentare tutti gli stati quantici rilevanti della natura», aggiunge.
I ricercatori del progetto GAPS hanno sviluppato una teoria matematica di reti di tensori al fine di creare rendering monodimensionali di ogni fase quantistica bidimensionale della materia, rendendole più semplici da comprendere e utilizzare. «Un risultato molto pratico, e inatteso, di questa ricerca consiste nell’utilizzo dei metodi delle reti di tensori per colmare le lacune nella privacy riscontrate in molte mansioni di apprendimento automatico», osserva Perez-Garcia.
Tuttavia, una completa classificazione di tutte le possibili fasi quantistiche della materia continua a rimanere sfuggente. «L’istituzione di un tipo di tabella periodica delle fasi quantistiche della materia potrebbe condurre a una serie di nuovi materiali e tecnologie», conclude il ricercatore. «Pertanto, il nostro lavoro continua.»