PDF Basket
Niektórzy uważają, że matematyka to alfabet, za pomocą którego Bóg opisał cały Wszechświat, jednak nie oznacza to, że jest alfabetem doskonałym.
„Nie każde twierdzenie da się udowodnić lub obalić, nawet z pomocą matematyki”, mówi David Perez-Garcia, matematyk z Uniwersytetu Complutense w Madrycie i koordynator projektu GAPS, który został sfinansowany przez Europejską Radę ds. Badań Naukowych. „Tak naprawdę w każdym systemie matematycznym, w którym można wykonać podstawowe działania arytmetyczne, zawsze będą istniały twierdzenia, których nie da się udowodnić ani obalić”.
Perez-Garcia wskazuje na przykład przerwy spektralnej.
Przerwą spektralną fizycy nazywają ilość energii, jakiej potrzebuje układ kwantowy, by przejść ze stanu niskoenergetycznego do stanu wzbudzonego. Według Pereza-Garcii wspomniana przerwa może stanowić rozwiązanie jednego z największych problemów fizyki kwantowej – klasyfikacji wszystkich możliwych stanów materii.
„Wszyscy znamy trzy podstawowe stany skupienia materii – ciała stałe, ciecze i gazy”, wyjaśnia Perez-Garcia. „Po osiągnięciu bardzo niskich temperatur zasady fizyczne układu opierają się na prawach mechaniki kwantowej – w takich sytuacjach mamy do czynienia ze znacznie większą liczbą znacznie bardziej egzotycznych stanów skupienia materii”.
Przykładami takich kwantowych stanów materii są między innymi nadprzewodniki, nadciecze, topologiczne ciecze spinowe i fraktony. „Pomimo tego, że dziedzina mechaniki kwantowej jest rozwijana już od ponad wieku, wciąż daleko nam do zrozumienia lub odkrycia wielu nieintuicyjnych stanów skupienia materii, jakie mogą występować na poziomie kwantowym”, dodaje Perez-Garcia.
Matematyczne niewykonalne zadanie
Ze względu na to, że to właśnie przerwa spektralna ochrania kwantowe właściwości układu, kwantowe zmiany stanu mogą wystąpić tylko wtedy, gdy wspomniana przerwa zostanie zamknięta. „Wykrycie, czy dany materiał kwantowy posiada przerwę spektralną, jest kluczem do określenia granic i przejść pomiędzy różnymi stanami skupienia materii”, zauważa Perez-Garcia.
Finansowany ze środków Unii Europejskiej projekt GAPS pozwolił na dowiedzenie, że nie istnieje możliwość określenia przerwy spektralnej nawet przy pomocy najbardziej zaawansowanych metod matematycznych. „Niektóre problemy matematyczne są nierozstrzygalne, co oznacza, że nie istnieje możliwość ich jednoznacznego zweryfikowania jako prawdziwych lub fałszywych – są po prostu poza zasięgiem matematyki”, dodaje badacz.
Jak wyjaśnia Perez-Garcia, dzięki projektowi GAPS udało się wykazać, że nawet jeśli znane są wszystkie mikroskopowe właściwości materiału, nie da się w niektórych przypadkach przewidzieć ich właściwości makroskopowych – tych, które obserwujemy naocznie i które decydują o stanie skupienia układu.
„Nie wynika to z braku odpowiednio dokładnych instrumentów badawczych ani z tego, że nie dysponujemy wystarczająco wydajnymi komputerami”, wyjaśnia badacz. „Problem polega na tym, że istnieją właściwości fizyczne, których zwyczajnie nie jesteśmy w stanie obliczyć”.
Innymi słowy, zagadnienie określenia stanu skupienia materii dowolnego materiału kwantowego jest nierozwiązywalne.
Pozytywy i negatywy
Nie wszystko jednak jest stracone. Jak uważa Perez-Garcia, pomimo negatywnego wyniku badania są też pewne pozytywy – badaczom udało się dowieść istnienia nowego stanu skupienia materii.
„Właściwości nowych przewidywanych materiałów zależą w dużym stopniu od wielkości próbki, co oznacza, że zmieniają się dramatycznie po osiągnięciu danej wielkości krytycznej – wielkości, którą można dobrać w taki sposób, aby uzyskać dowolną wartość”, wyjaśnia Perez-Garcia. „Obecnie pracujemy nad propozycją syntezy takiego materiału w warunkach laboratoryjnych, co stanowi bardzo interesujący i ekscytujący kierunek badań”.
Co więcej, nawet jeśli określenie stanu skupienia danego układu kwantowego jest niemożliwe, nadal można sobie wyobrazić możliwość opisania wszystkich możliwych kwantowych stanów skupienia materii. Jak twierdzi Perez-Garcia, sieci tensorowe są właściwym narzędziem do realizacji takich badań. „Jako matematyczne odwzorowanie stanu kwantowego, sieci tensorowe są wystarczająco elastyczne, aby reprezentować wszystkie istotne stany kwantowe występujące w przyrodzie”, dodaje.
Badacze projektu GAPS opracowali matematyczną teorię sieci tensorowych, aby na jej podstawie opracować jednowymiarowe odwzorowania każdego dwuwymiarowego stanu kwantowego materii, dzięki czemu są one znacznie łatwiejsze do zrozumienia i wykorzystania w praktyce. Jednym z bardziej praktycznych i nieoczekiwanych rezultatów badań jest wykorzystanie sieci tensorowych do wypełnienia luki prywatności, która dotyczy wielu problemów rozwiązywanych przy pomocy algorytmów uczenia maszynowego”, zauważa Perez-Garcia.
Niemniej jednak problem pełnej klasyfikacji wszystkich możliwych stanów kwantowych materii pozostaje nierozwiązany. „Opracowanie swego rodzaju układu okresowego stanów kwantowych materii może doprowadzić do powstania szeregu nowych materiałów i technologii”, podsumowuje. „Dlatego będziemy kontynuować nasze prace”.