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Puede que las matemáticas sean el alfabeto con el que Dios escribió el universo, pero eso no significa que sean perfectas.
Tal como afirma David Pérez García, matemático de la Universidad Complutense de Madrid y coordinador del proyecto GAPS, financiado por el Consejo Europeo de Investigación: «No todas las afirmaciones se pueden demostrar o refutar, ni siquiera con las matemáticas. De hecho, en cualquier sistema matemático en el que se pueda hacer aritmética básica, siempre habrá afirmaciones imposibles de demostrar o refutar».
Para explicarlo, Pérez García señala los vacíos espectrales.
Los físicos llaman vacíos espectrales a la cantidad de energía que necesita un sistema cuántico para pasar de un estado de baja energía a otro excitado. Según Pérez García, estos vacíos podrían ayudar a abordar uno de los mayores retos de la física cuántica: la clasificación de todas las fases posibles de la materia.
«Conocemos los tres estados clásicos de la materia: sólido, líquido y gaseoso—explica Pérez García—. Sin embargo, a temperaturas muy bajas, donde la mecánica cuántica es la ley que rige la física de un sistema, hay muchas más fases de la materia, y mucho más exóticas».
Ejemplos de estas fases cuánticas de la materia son los superconductores, los superfluidos, los líquidos de espín topológicos y los fractones, por citar solo algunos. «A pesar de cerca de un siglo de mecánica cuántica, aún estamos lejos de comprender, o incluso de descubrir, las muchas fases contraintuitivas de la materia que son posibles dentro del sistema cuántico», añade Pérez García.
Misión matemática imposible
Dado que los vacíos espectrales son lo que protege las propiedades cuánticas de un sistema, las transiciones cuánticas de fase solo pueden producirse cuando esa brecha se cierra. «Determinar si un material cuántico tiene o no un vacío espectral es la clave para determinar los límites y las transiciones entre las distintas fases de la materia», apunta Pérez García.
En el proyecto GAPS, financiado con fondos europeos, se demostró que los vacíos espectrales no pueden determinarse ni siquiera con las matemáticas más sofisticadas. «Algunas cuestiones matemáticas son indecidibles, es decir, no son ni verdaderas ni falsas, simplemente están fuera del alcance de las matemáticas», afirma.
Como explica Pérez García, el proyecto GAPS demostró que, aunque se conozcan todas las propiedades microscópicas de un material, sus propiedades macroscópicas (las que observamos con nuestros ojos y que determinan la fase del sistema) no pueden, en algunos casos, predecirse.
«No se trata de una cuestión de falta de instrumentos precisos o de no disponer de ordenadores lo bastante potentes —comenta—, sino de que hay propiedades físicas que simplemente no podemos calcular».
En otras palabras, el problema de determinar la fase de la materia de cualquier posible material cuántico dado es irresoluble.
Por cada negativo hay un positivo
Pero no todo está perdido. Según Pérez García, este resultado negativo tiene una contrapartida positiva: demostró la existencia de una fase totalmente nueva de la materia.
«Las propiedades de estos nuevos materiales predichos dependen en gran medida del tamaño de la muestra, lo que significa que estas propiedades cambian drásticamente a un tamaño crítico determinado, un tamaño que puede ajustarse para que sea cualquier valor deseado —aclara Pérez García—. Actualmente, estamos trabajando en una propuesta para sintetizar este tipo de material en un entorno de laboratorio, algo que nos entusiasma».
Además, aunque sea imposible determinar la fase de cada sistema cuántico, sigue siendo posible que se puedan describir todas las fases posibles de la materia cuántica. Según Pérez García, las redes tensoriales parecen la herramienta adecuada para ello. «Al ser representaciones matemáticas de un estado cuántico, las redes tensoriales son lo bastante flexibles como para representar todos los estados cuánticos relevantes de la naturaleza», añade.
Los investigadores del proyecto GAPS desarrollaron una teoría matemática de redes tensoriales para crear representaciones unidimensionales de cada fase cuántica bidimensional de la materia, lo que facilita mucho su comprensión y uso. «Un resultado muy práctico, e inesperado, de esta investigación es el uso de métodos de redes tensoriales para cerrar la brecha de privacidad de muchas tareas de aprendizaje automático», indica Pérez García.
Sin embargo, la clasificación completa de todas las fases cuánticas posibles de la materia sigue siendo difícil. «Establecer una especie de tabla periódica de las fases cuánticas de la materia podría conducir a una serie de nuevos materiales y tecnologías —concluye—. Y esa es la continuación de nuestro trabajo».